Limit and Colimit

　ＰＤＦ　｜（余）極限｜

　（余）極限の考えは数学には欠かせない。トポロジーでは無限次元のＣＷ複体の骨格フィルターの余極限が元の空間に一致することや、ホモロジー群、ホモトピー群の（余）極限との可換性は調べる必要がある。
　まず余極限、帰納的極限、逆極限などと呼ばれるものは、イメージ的には数列の極限等を考えてもらえばわかりやすい。ある方向性があって、そのずっと先にあるものということか。数列の極限は近づいていく数が極限ですが、集合における余極限というのは、例えば、ある空間の部分空間の列、

　　　　　　　　

というのを考えれば、その先にあるものだから、

　というのはなんとなく想像がつく。そして帰納的極限が列の行き着く先なら、極限、射影的極限は列の一番大元にあるもの。例えば射影の列、

があるとしたら、この射影的極限というのは左側のずっと先にあるものだから、

と想像するのは難しくない。

　一般の圏における（余）極限を正確な言葉で定義するなら、自然変換、あるいは射の一意性を用いる。（余）極限は小圏からの関手に対して定義される。任意の関手に対し、（余）極限が存在する場合、（余）極限で閉じているとか、（余）完備といったりする。モデル圏では完備かつ余完備な圏で考えるので、【DS95】の序論では（余）極限について扱っていてわかりやすい。日本語だと【Ma05】か【西田85】なんかを見るとよい。
　空間における（余）極限はトポロジーで扱う空間の操作を表すのに便利である。これは別に空間に限ったことでもないのだが、集合を小圏と見なしたとき、そこからの関手のの（余）極限は直積（和）であり、*→*←*からの関手の極限が引き戻し、*←*→*の余極限は押し出しをあらわす。
　極限と余極限はもちろん双対という言葉でくくってしまうのが一番明快だが、具体的に言うとこれらは、関手圏から元の圏への関手として捉えることができる。つまり、

　　　　　　　　　　　　

というわけであるが、じつはこれについて、

　であり、また　

という関係がる、というかこれを定義としてもよいと思う。そして、さらに

　ならば、Fは余極限を保ち、Gは極限を保つことが知られている。

　具体的な構成は空間以外では、代数的な群や加群、代数なんかを知っておくとよい。加群なんかの場合には、直和も直積も有限個ならば同じなのでわかりやすい。一般的に、直和と直積が同じになる条件を考えている人がいる【Iov06】。